Peter kennt das Produkt der beiden Zahlen. Wenn dieses Produkt aus nur
zwei Primfaktoren bestehen würde, könnte er die beiden Zahlen
bestimmen. Genauso könnte er die Zahlen bestimmen, wenn ein Primfaktor
größer als 50 vorkommen würde. Simon weiß, dass das für das Produkt
nicht zutrifft. Daher muss die Summe eine Zahl sein, die sich nicht in
zwei Primzahlen als Summanden zerlegen lässt. Außerdem muss die Summe
kleiner als 55 sein, da sonst ein Primfaktor größer 50 (55=53+2)
vorkommen könnte.
Durch diese Einschränkungen kann die Summe nur eine der folgenden Zahlen sein:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53
Da Peter diese Information von Simon bekommt, kann er jetzt wesentlich
mehr Produkte aufspalten; z.B. müssen alle vorkommenden Primfaktoren 2
in einer Zahl stecken, da nur ungerade Summen vorkommen und daher ein
ungerader und ein gerader Summand auftreten muss.
Da Simon, nachdem er weiß, dass Peter das Produkt nun aufspalten
konnte, die Zahlen auch kennt, darf es nur eine Möglichkeit geben, die
Peter zu diesem Schluss bringen kann. Dadurch fallen weitere Summen
weg. Zunächst die Fälle, in denen die Zahl auf zwei Arten in eine
Primzahl und eine Zweierpotenz zerlegbar ist:
11 = 3+8 = 7+4
23= 7+16 = 19+4
27= 9+18 = 11+16
35= 31+4 = 19+16
37= 29+8 = 5+32
47= 43+4 =31+16
53= 47+4 = 43+8
Nun bleiben also noch: 17, 29, 41, 53.
Die 29 lässt sich aufteilen in 13 + 16 und in 8+21 = 8+ 3x7 . Die
zweite Aufspaltung hätte Peter auch finden können, da 8 x 3 +7nicht in
den möglichen Summen auftrat und 8 x 7 + 3 zu groß ist.
Bei der 41 ist es ähnlich: 41 = 37 + 4 und 41 = 16 + 25 = 16 + 5 X 5, 5 X 16 ist zu groß.
Auch die 53 hat mehrere mögliche Aufspaltungen: 53 = 37 + 16 und 53 =
32 + 21 = 32 +3 X 7, wobei sowohl 32 X 3 als auch 32 X 7 zu groß sind.
Die einzige Summe, die übrigbleibt, ist die 17. Hier bleibt nun noch zu
überprüfen, ob es nur eine (Summen-)Aufteilung gibt, bei der Peter die
Produktzerlegung finden konnte:
2 + 15 = 2 + 3 X 15; auch möglich: 2 X 3 + 5 (11 ist gültige Summe)
3 + 14 = 3 + 2 X 7; auch möglich: 3 X 7 + 2 = 23
4 + 13: Peter kann die Zahlen finden.
5 + 12...
6 + 11 ...
7 + 10...
8 + 9 ...
Die einzige Möglichkeit für die Summe ist also 17, und die Zahlen müssen 4 und 13 sein.
Sonntag, 28. April 2024, 18:35
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